Ma i numeri primi in che cosa sono primi?

Tutti sanno la definizione di numero primo: è un numero che ha come unici divisori se stesso e l’unità. Lo si impara già alle medie e quindi il numero primo non è visto come una novità dagli studenti quando lo incontrano di nuovo in prima superiore … a meno che… a meno che non si sia decisamente curiosi e non si voglia dare per scontato mai nulla, nemmeno un nome. Così la classe prima scientifico ha invitato la professoressa Raffaella Manara sulle seguenti domande:

Ed ecco il resoconto dell’intervento.

Come si generano in numeri naturali La particolarità di questi strani numeri si coglie osservando come si generano i numeri naturali: da zero si fa +1, +1, +1, … una fila infinita, come delle formiche che escono dal formicaio. Tutti i naturali si generano con somme. Tra tutti questi numeri si fanno le operazioni: la somma e la sottrazione, l’operazione inversa, e il prodotto e, l’inversa, la divisione. Se la somma nasce dall’origine dei naturali, da dove nasce il prodotto? È qui che spuntano i numeri primi. È nella generazione del prodotto che spuntano i numeri primi. Essi sono infatti i capostipiti di ciascun prodotto. Sappiamo che ciascun numero può essere rappresentato come prodotto unico di fattori primi, e il prodotto tra numeri è il prodotto tra primi. Ecco che si capisce l’affermazione di prima, e cioè che il prodotto nasce dai numeri primi. Ecco che nel piano dei numeri naturali generato dalla somma si delinea un intreccio di interminabili file di multipli e sottomultipli e a capo di ciascuna sta il numero primo, capostipite, in questo senso, del prodotto e dei suoi infiniti multipli. E’ questa la grande importanza dei numeri primi: la generazione del prodotto. E’ come essere arrivati ai quark. Quando arrivo alla scomposizione in fattori primi mi fermo: non posso più proseguire nella scomposizione, e questa è la base dell’aritmetica, è come essere arrivati ai quark. Sono quindi molto, molto importanti. I numeri primi sono infiniti. Sì, è vero, i primi sono infiniti, e questo lo si sa dal IV secolo a.C., ai tempi dell’antica Grecia, ai tempi di Euclide. Il matematico greco, infatti, si pose questo stesso problema, e lo risolse ragionando per assurdo, ragionando cioè come se la sua congettura fosse falsa. Ha immaginato di avere una serie con tutti i numeri primi p1, p2, p3, p4, … fino all’ipotetico ultimo primo P, e ha dimostrato che facendo il prodotto di tutti questi primi fino a P e aggiungendo 1 o si avrà come risultato un altro primo, più grande di tutti gli altri, oppure si ha un numero non primo, che però, non essendo divisibile per nessuno dei primi fino a P, deve avere un divisore primo diverso da tutti gli altri e quindi maggiore di P. Continuando a moltiplicare tra loro anche i nuovi numeri primi che troviamo, non si formano tutti i primi, ma è palese che se ne troveranno di sempre più grandi e si può procedere all'infinito. Le congetture di Euclide e di Goldbach. Il calcolo dei primi è un calcolo molto complicato per le notevoli grandezze dovute ai prodotti di sempre più numeri sempre più grandi, ma il primo più grande mai ottenuto ha ben quattro milioni di cifre. La congettura di Euclide fu dimostrata, ma non tutte le congetture sono dimostrate (o smentite): non bastano milioni di esempi per verificare una congettura (mentre ne basta uno solo per smentirla), e una congettura è dimostrata e diventa teorema quando, e solo quando, si trova una spiegazione matematica che fornisca un motivo per avere la certezza che un qualunque esempio sostenga la congettura. Una tra le più famose congetture a cui non si è ancora trovata una dimostrazione né un contro esempio, è la congettura di Goldbach, che ha ipotizzato che tutti i numeri pari sono ottenibili come somma di due (e solo due) primi, mentre è dimostrato che ogni numero pari è somma di quattro primi. Rappresentazione grafica dei numeri primi Per rispondere alle domande ci aiuteremo con una rappresentazione grafica dei numeri primi e dei loro multipli. Essa consiste nel raffigurare su un diagramma cartesiano sull’asse x i numeri naturali di cui visualizzeremo i multipli su semirette verticali, sull’asse y i naturali di cui segneremo i divisori. Iniziamo sull’asse x dal due (dell’uno non avrebbe senso) a segnare un punto ogni due quadretti coincidente con le coordinate pari di y. Passiamo poi al tre, segnando un punto ogni tre quadretti all’altezza dei multipli di tre sull’asse y. Si continua così per un po’, fino a che non apparirà chiara una cosa guardando il grafico. I punti, apparentemente disordinati, formeranno semirette con origine in 0, la prima delle quali è bisettrice del quadrante. Essa è formata dall’unione dei punti corrispondenti a tutti i membri dell’insieme N. Formanti angoli sempre più acuti con l’asse y troviamo altre semirette aventi punti corrispondenti ai pari, ai multipli di 3, 4, 5 ecc. sull’asse y. I primi sull’asse y sono quei numeri da cui si può tracciare una linea parallela all’asse x che non tocchi punti (a parte quelli della colonna di uno, che peraltro non avevano segnato) evidenziati come multipli fino alla semiretta inclinata a 45°, il che corrisponde alla definizione di numero primo, e cioè di non essere multiplo di altri numeri che non 1 e sé stesso. I multipli di un numero sono quei numeri in cui la parallela all’asse x interseca un punto segnato sulla verticale del divisore. Vediamo che alcuni primi sono disposti a coppie, e questi si dicono primi gemelli, altri non lo saranno (come ad esempio 23). Se il grafico fosse abbastanza grande si potrebbe distintamente vedere che la frequenza con cui i primi compaiono tra gli altri numeri non rimane costante, diminuisce con l’aumentare del loro valore, i primi si rarefanno moltissimo, ma restano infiniti: Tra 1 e 10 ci sono 5 numeri primi; Tra 10 e 100 ce ne sono 21; Tra 9.999.900 e 10.000.000 ce ne sono 9; Tra 10.000.000 e 10.000.100 ce ne sono 3.

 

• Pubblicata: 10 dicembre 2003 in Scientifico
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